INTEGRAL

A.    PENGERTIAN INTEGRAL

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ʃ

Integral terbagi dua yaitu  integral tak tentu dan  integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu  memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tak tentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

1.      Integral Tak Tentu

Integral tak tentu adalah sebuah bilangan yang dimana unuk mencari besaran dan volume benda.

Misalkan diberikan fungsi-fungsi berikut.

y = x² + 2x + 5

y = x² + 2x – 2

Kedua fungsi itu memiliki turunan yang sama, yaitu:
 = 2x+2

Sekarang, tinjau balik. Misalkan diberikan

= 2x + 2. Jika dicari integralnya, akan diperoleh fungsi-fungsi

y = x² + 2x + 5,

y = x² + 2x – 2, bahkan

y = x² + 2x + 10,

y = x² + 2x – log 3, dan sebagainya.

Dengan demikian, fungsi yang memiliki turunan

= = 2x + 2, bukan saja dua fungsi di atas, tetapi banyak sekali. Walaupun demikian, fungsi-fungsi itu hanya berbeda dalam hal bilangan tetap saja (seperti 5, –2, 10, log 3, dan seterusnya). Bilangan-bilangan ini dapat disimbolkan dengan C. Karena nilai C itulah hasil integral ini disebut integral tak tentu.

1. Notasi Integral Tak Tentu

Perhatikan kembali definisi integral tak tentu di atas. Secara umum, jika F(x) menyatakan fungsi dalam variabel x, dengan f(x) turunan dari F(x) dan c konstanta bilangan real maka integral

tak tentu dari f(x) dapat dituliskan dalam bentuk

 dx=F(x)+c

dibaca ”integral fungsi f(x) ke x sama dengan F(x) + c”.

Keterangan:

 dx = notasi integral tak tentu

F(x) + c = fungsi antiturunan

f(x) = fungsi yang diintegralkan (integran)

c = konstanta

dx = diferensial (turunan) dari x

2.      Integral  tentu

Integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.

Apabila

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk   .

B. KEGUNAAN INTEGRAL

Ekonomi

·       Mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya).

·       Mencari fungsi biaya total.

·       Mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal.

·       Mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal.

·       Fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal.

·       Fungsi kapital dari fungsi investasi.

Teknologi

·      Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu

·      Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu.

·      Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan volume, paanjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, surplus konsumen.

Fisika

·       Analisis rangkaian listrik arus AC.

·       Analisis medan magnet pada kumparan.

·       Analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

Matematika

·       Menentukan luas suatu bidang,

·       Menentukan volume benda putar,

·       Menentukan Panjang busur