INTEGRAL

A.    PENGERTIAN INTEGRAL

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ʃ

Integral terbagi dua yaitu  integral tak tentu dan  integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu  memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tak tentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

1.      Integral Tak Tentu

Integral tak tentu adalah sebuah bilangan yang dimana unuk mencari besaran dan volume benda.

Misalkan diberikan fungsi-fungsi berikut.

y = x² + 2x + 5

y = x² + 2x – 2

Kedua fungsi itu memiliki turunan yang sama, yaitu:
 = 2x+2

Sekarang, tinjau balik. Misalkan diberikan

= 2x + 2. Jika dicari integralnya, akan diperoleh fungsi-fungsi

y = x² + 2x + 5,

y = x² + 2x – 2, bahkan

y = x² + 2x + 10,

y = x² + 2x – log 3, dan sebagainya.

Dengan demikian, fungsi yang memiliki turunan

= = 2x + 2, bukan saja dua fungsi di atas, tetapi banyak sekali. Walaupun demikian, fungsi-fungsi itu hanya berbeda dalam hal bilangan tetap saja (seperti 5, –2, 10, log 3, dan seterusnya). Bilangan-bilangan ini dapat disimbolkan dengan C. Karena nilai C itulah hasil integral ini disebut integral tak tentu.

1. Notasi Integral Tak Tentu

Perhatikan kembali definisi integral tak tentu di atas. Secara umum, jika F(x) menyatakan fungsi dalam variabel x, dengan f(x) turunan dari F(x) dan c konstanta bilangan real maka integral

tak tentu dari f(x) dapat dituliskan dalam bentuk

 dx=F(x)+c

dibaca ”integral fungsi f(x) ke x sama dengan F(x) + c”.

Keterangan:

 dx = notasi integral tak tentu

F(x) + c = fungsi antiturunan

f(x) = fungsi yang diintegralkan (integran)

c = konstanta

dx = diferensial (turunan) dari x

2.      Integral  tentu

Integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.

Apabila

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk   .

B. KEGUNAAN INTEGRAL

Ekonomi

·       Mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya).

·       Mencari fungsi biaya total.

·       Mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal.

·       Mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal.

·       Fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal.

·       Fungsi kapital dari fungsi investasi.

Teknologi

·      Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu

·      Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu.

·      Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan volume, paanjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, surplus konsumen.

Fisika

·       Analisis rangkaian listrik arus AC.

·       Analisis medan magnet pada kumparan.

·       Analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

Matematika

·       Menentukan luas suatu bidang,

·       Menentukan volume benda putar,

·       Menentukan Panjang busur

PELUANG

1. Pengertian Peluang

Dasar logika proses pengambilan inferensi statistik tentang suatu populasi dengan analisa data sampel adalah peluang. Peluang adalah bilangan yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Peluang mempunyai nilai antara 0 dan 1. Peluang berhubungan dengan percobaan yang menghasilkan sesuatu yang tidak pasti.

2. Ruang sampel dan kejadian ( peristiwa )

Ruang sampel (sample space) adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Peristiwa (kejadian, event) adalah himpunan bagian dari ruang sampel

♣ Peristiwa sederhana: hanya memuat 1 elemen saja

♣ Peristiwa bersusun: gabungan dari peristiwa-peristiwa sederhana

              ♣ Jika hasil suatu experimen termasuk dalam himpunan A, maka dapat dikatakan bahwa                          peristiwa A telah terjadi.

Percobaan adalah suatu tindakan atau proses pengamatan yang menghasilkan outcome yang tak dapat diperkirakan kepastiannya.

Notasi :

♣ Ruang sampel ditulis dengan notasi S

♣ Peristiwa dinotasikan dengan huruf besar: peristiwa2 A, B, C, dst.

♣ Anggota (elemen) ruang sample dinotasikan dengan huruf kecil: a1, a2, a3, dst. Anggota / elemen ruang (sample point)

♣ Jika ruang sampel S beranggotakan a1, a2, dan a3, maka ruang sampel yang bersangkutan dapat disajikan sebagai: S = {a a1, a , a2, a , a3}

♣ Jika peristiwa A beranggotakan a1, a2, dan a3, maka peristiwa yang bersangkutan dapat dinotasikan sebagai A = {a1, a2, a3}

Contoh 1

Percobaan: Koin (head dan tail) dilempar 1 kali

Hasil: tampak H (head) atau T (tail)

Ruang sampel S = {H, T}

Peristiwa: A = {H, T}

Contoh 2

Percobaan: Pelemparan 2 buah koin (H dan T) sekaligus

Hasil: HH (H&H), TT (T&T), atau HT (H&T)

Ruang sampel: S = {HH, HT, TT}

Peristiwa: 1. Keduanya sama, A = {HH, TT}

2. Keduanya berbeda B = {HT}

Contoh 3

Percobaan: pelemparan 1 buah koin 2 kali berturutan

Hasil: HH (H kemudian H), HT (H kem T), TH (T kem H), atau TT.

Ruang sampel: S {HH, HT, TH, TT}

Peristiwa: 1. Berturutan sama, A = {HH, TT}

2. Berturutan beda, B = {HT, TH}

Anggota peristiwa A berbeda dengan anggota peristiwa B atau,

Peristiwa: 1. Muncul gambar yang sama, B = {HH, TT}

2. Paling sedikit muncul 1 H, A = {HH, HT, TH}

Anggota peristiwa A menjadi anggota peristiwa B, yaitu HH

Definisi-definisi

1.        Experiment adalah proses observasi yang mengarah ke single outcome (hasil tunggal), yang tak dapat diperkirakan.

2.        Data sampel (sampel point) adalah outcome yang paling mendasar dari suatu percobaan.

3.        Ruang sampel (sample space) dari suatu percobaan adalah kumpulan / koleksi / himpunan dari semua data sampel yg mungkin dihasilkan. Semua data sampel ini merupakan anggota ruang sampel, yang peluangnya totalnya = 1.

4.        Peristwa atau kejadian (event) adalah koleksi / himpunan data sampel yang spesific (mempunyai sifat khusus).

3. Peluang Suatu Kejadian

Aksioma peluang :

Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan tersebut disebut peluang.

a.         Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai pelauang nol dan dinamakan kejadian mustahil.

b.        Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu (peluang ruang sampel adalah satu)

c.         Peluang kejadian A bernilai antara 0 dan 1, yaitu 0 £ P (A) £1

d.        Jika A dan B adalah kejadian sehingga AÇB = Æ,maka P(AÈB) = P(A) + P (B)

Berdasarkan definisi di atas kita akan menentukan arti peluang dari kejadian sederhana. Jika kita mempunyai ruang sampel dengan anggota sebanyak n. selanjutnya jika kita anggap bahwa kesempatan muncul setiap anggota tersebut juga sama. Jika peluang muncul satu anggota adalah p, dan berdasarkan Aksioma (2),maka

p+ p+ p+…+ p =1

n suku

np = 1 Û p =

Misalnya pada [elemparan satu dadu berisi enam,peluang muncul angka 2 adalah

P =  =

Sifat : Nilai Peluang

Dalam ruang sampel (S) yang setiap kejadian sederhana mempunyai peluang yang sama, maka peluang kejadian A adalah

P(A) =  =

Contoh

Kita mempunyai 4 bola putih (P) dan 3 bola merah (M). kemudian diambil satu bola secara acak. Tentukan peluang terambil bola merah.

Penyelesaian

Ruang sampel dari pengambilan satu bola adalah S = {P,P,P,P,M,M,M} dengan setiap bola mempunyai peluang yang sama untuk terambil. Misalnya kejadian terambil bola merah adalah A, maka n(A) = 3. Jadi,peluang kejadian terambilnya bola merah adalah P(A) = .

4.    Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan adalah peluang kejadian tersebut dikalikan banyak percobaan. Misalnya kita melakukan n kali percobaan dan A adalah kejadian dengan peluang p dengan (0 £ p£ 1). Frekuensi harapan dari kejadian A adalah p Î n. Jika E adalah suatu kejadian dalam ruang contoh S dan P(E) adalah peluang terjadinya E dalam n kali percobaan maka frekuensi harapan kejadian E didefinisikan :

F(E) = P(E) Î n

Contoh

Sekeping uang logam dilempar 30 kali,maka frekuensi harapan muncul gambar adalah. . .

Penyelesaian

F(G) =  Î 30 = 15 kali

     5.    Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk dapat dibentuk dengan cara menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana. Dengan menggunakan operasi antarhimpunan,suatu kejadian majemuk dapat dibentuk dari dua kejadian majemuk yang lain. Operasi antarhimpunan yang dimaksudkan adalah operasi gabungan (union) dan opersi irisan.

 

            6.    Peluang dari Gabungan Kejadian

Misalnya A dan B adalah dua kejadian yang terdapat dalamruang sampel S,maka peluang kejadian A atau B adalah P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB)

         

            7.    Peluang Gabungan Dua kejadian Saling Lepas

Apabila A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas ,maka peluang gabungan dua kejadian itu adalah P(AÈB) = P(A) + P(B).

 8.    Peluang Komplemen suatu kejadian

Misal sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Kejadian A adalah munculnya bilangan 3 dan ditulis A = {3}. Kejadian A¢ adalah munculnya bukan bilangan 3, ditulis A¢ (dibaca: A komplemen) = {1,2,3,4,5,6}. Diagram Venn untuk himpunan A dan A¢ dapat digambarkan seperti berikut.

Dari gambar di atas tampak bahwa AÇA¢ = Æ sehingga kejadian A dan kejadian A¢ merupakan kejadian yang saling lepas. Dengan demikian berlaku hubungan

P(AÈA¢) = P(A) + P(A¢)        (*)

Karena A¢ merupakan komplemen A , maka AÈA¢ = S atau n(AÈA¢) = n (S). Jadi,

P(AÈA¢) =  =  = 1      (**)

Substitusi persamaan (**) ke persamaan (*) akan menghasilkan

P(AÈA¢) = 1 =  P(A) + P(A¢) Û P(A¢) = 1 – P(A)

Sehingga dapat dinyatakan bahwa

Apabila A dan A¢ merupakan dua buah kejadian yang saling komplemen, maka

peluang komplemen kejadian A, ditulis P(A¢), adalah  P(A¢) = 1 – P(A)

9.    Kejadian yang Saling Bebas

Misalkan dua buah bola akan diambil secara acak dari sebuah tas yang memuat 4 bola merah dan 3 bola biru. Berapa peluang keduanya bola merah? Jika A kejadian mendapatkan bola merah pada pengambilan pertama dan B kejadian mendapatkan bola merah pada pengambilan kedua. Ruang sampel S di bawah ini akan disajikan dengan dua versi yaitu dengan pengembalian dan tanpa pengembalian. Persoalan yang akan dibahas adalah P(A dan B) atau P(A Ç B).

     

      1. Bola pertama dikembalikan sebelum bola kedua diambil.

Ruang sampel S memuat 49 elemen (7 Î 7),

A dan B memuat 16 elemen (4 Î 4)

Maka : 

P(A Ç B) = P(A) . P(B)

Hasil dari A Ç B terletak di daerah persegi pada gambar di atas.

2.      Bola pertama tidak dikembalikan sebelum bola kedua diambil. Pada pengambilan pertama kita dapat memilihi 1 dari 7 bola, tapi pada pengambilan kedua hanya ada 6 pilihan. Jadi, ruang sampel memuat 6 elemen. Kejadian A dan B memuat 4 Î 3 atau 12 elemen, sebab 4 bola merah dapat dipilih pada pengambilan pertama, dan hanya 3 pilihan bola merah pada pengambilan kedua,

Maka P(A Ç B) =

 P(A Ç B) =

 P(A Ç B) = P(A) . P(B/A)

Peluang kejadian B dengan syarat A telah terjadi.

 Contoh tersebut secara umum disebut peluang bersyarat

Untuk P(A) peluang kejadian A, P(B/A) peluang kejadian B dengan syarat A telah terjadi. Jika P(A Ç B) peluang terjadinya A dan B, maka  P(A Ç B) = P(A) . P(B/A)

Dua kejadian seperti tersebut dinamakan tidak saling bebas. Jika P(B/A) = P(B) maka akan diperoleh

P(A Ç B) = P(A) . P(B)

Dan dua kejadian tersebut dinamakan saling bebas.